Leçon 1 : Notions de base sur les ensembles finis(Premières C et D)

Leçon 1 : ?

Compétences

• Déterminer le cardinal d’un ensemble finis
• Déterminer le complémentaire d’un ensemble finis
• Déterminer la réunion, l’intersection de deux ensembles finis
• Montrer que des ensembles finis forment une partition de E
• Utiliser le diagramme de Venn pour dénombrer
• Utiliser un tableau à double entrée pour dénombrer
• Utiliser un arbre de choix pour dénombrer

Situation de vie

M. Talla, Mme Abia et Mme Issa sont tous des commerçants. Dans le magasin de M. Talla, on retrouve : des sacs de riz, des sacs d’arachides, des pattes alimentaires, des sacs de farine, des palettes d’eau minérale, l’huile raffinée. Dans le magasin de Mme Abia, on retrouve : des sacs de riz, des sacs de sucre, des cartons de savon, des sacs de farine, des palettes d’eau minérale. Dans le magasin de Mme Issa, on retrouve : des sacs de riz, des sacs d’arachides, des pattes alimentaires, des cartons de savon, des sacs de farine, l’huile raffinée, des sacs de sucre, des palettes d’eau minérale. On désigne par A l’ensemble des éléments que l’on retrouve dans le magasin de M.Talla ; B l’ensemble des éléments que l’on retrouve dans le magasin de Mme Abia et E celui de Mme Issa.
CONSIGNE : Réponds aux questions posées à l’aide de tes connaissances et des données du texte.
TRAVAIL A FAIRE

1 Peut-on compter le nombre d’éléments de l’ensemble E ?
Non
Oui
Non, ce nombre vaut 8
Oui, ce nombre vaut 10
Les ensembles finis
Regardez si on a listé tous les éléments de l'ensemble E.
2 Un ensemble qu’on peut compter ses éléments est un ensemble
infini
non vide
fini
vide
Les ensembles finis
3 Un ensemble vide est un ensemble qui
a un élément
a toujours un élément
n’admet aucun élément
a au moins un élément
Les ensembles
Attardez-vous sur le mot vide de la question.
4 Comment appelle-t-on le nombre d’élément d’un ensemble fini?
Le plus grand élément
Le plus petit élément
Le complémentaire
Le cardinal
Les ensembles
Ne perdez pas de vu l'objectif de la leçon.
5 Quel est le cardinal de l’ensemble E ?
8
5
6
11
Les ensembles finis
Compter le nombre d'éléments de l'ensemble E.
6Quels sont les éléments de E qui ne sont pas dans A ?
des sacs d’arachides, des pattes alimentaires, l’huile raffinée
des sacs d’arachides, l’huile raffinée
des sacs d’arachides, des pattes alimentaires
des cartons de savon, des sacs de sucre
Supprimer dans E tous les éléments qui sont dans A.
7 Soit D l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A. Comment appelle-t-on l’ensemble D ?
Le complémentaire de A dans E noté C_E^A
Le complémentaire de E dans A noté C_A^E
La réunion A ∪E
L’intersection A ∩E
Exploitez la question précédente.
8Quels sont les éléments qui sont à la fois dans A et B ?
des sacs d’arachides, des pattes alimentaires, l’huile raffinée
des sacs d’arachides, l’huile raffinée
des sacs d’arachides, des pattes alimentaires
des sacs de riz, des sacs de farine, des palettes d’eau minérale.
Utilisez les ensembles A et B pour répondre aux questions.
9Soit F l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et B. Quel nom donne-t-on l’ensemble F ?
Le complémentaire de A dans B
L’intersection A ∩B
Le complémentaire de B dans A
La réunion A ∪B
Exploitez la question précédente.
10Quels sont les éléments qui appartiennent à A ou à B ?
des sacs de riz, des sacs d’arachides, des pattes alimentaires, des palettes d’eau minérale, l’huile raffinée, des sacs de sucre, des cartons de savon, des sacs de farine.
des sacs de riz, des sacs d’arachides, des pattes alimentaires, des palettes d’eau minérale, l’huile raffinée, des sacs de sucre, des sacs de farine, des cartons de savon, des sacs de farine.
des sacs de riz, des sacs d’arachides, des palettes d’eau minérale, l’huile raffinée, des sacs de sucre, des cartons de savon, des sacs de farine.
des sacs de riz, des sacs d’arachides, des pattes alimentaires, des palettes d’eau minérale, l’huile raffinée, des cartons de savon, des sacs de farine.
Utilisez les ensembles A et B.
11Soit H l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B. Comment appelle-t-on l’ensemble H ?
Le complémentaire de A dans B
L’intersection A∩B
Le complémentaire de B dans A
La réunion A∪B
Exploiter la question précédente.
12Deux ensembles sont dis disjoints ou incompatibles si leur
Intersection est vide
Réunion est vide
Intersection est non vide
Intersection contient un élément
Ensembles disjoints
Soit A={1,2,3} et B={4,5}. Calculer A∩B; puis conclure.
13 Des ensembles forment une partition de E si
• Aucun de ces ensembles n’est vide
• Ces ensembles sont deux à deux disjoints
• Si la réunion de ces ensembles est égale à E
Les ensembles A et B forment-ils une partition de E ?
Oui
Non, car l’ensemble a est vide
Non, car A et B ne pas disjoints
Non, car l’ensemble B est vide
Partition d'un ensemble
Calculer A∩B; puis conclure.
14 Parmi les 74 fidèles clients de Mme Issa, 38 parlent le Français, 44 parlent l’Anglais et 9 parlent le Français et l’Anglais. Mme Issa veut connaître le nombre de clients qui parlent uniquement le Français, uniquement l’Anglais, aucune des deux langues et ceux qui parlent le Français ou l’Anglais. Sont fils de première scientifique réalise au tableau le diagramme ci-dessous pour aider sa maman.



On note C : L’ensemble des clients Fidèles F : L’ensemble des clients fidèles qui parlent le Français A : L’ensemble des clients fidèles qui parlent l’Anglais.
1. Quel nom donne-t-on à ce diagramme ?
Diagramme des cercles
Diagramme de Venn
Arbre de choix
Tableau à double entrée
Exploitez les compétences de la leçon.

2. Combien de clients fidèles parlent uniquement le Français ?
38
9
44
29
Effectuez l'opération 38-9.

3. Combien de clients fidèles parlent uniquement l’Anglais?
35
44
9
38
Effectuez l'opération 44-9.

4. Combien de clients fidèles ne parlent aucune des deux langues ?
29
35
1
0
Effectuez l'opération 74-(9+29+35).

5. Combien de clients fidèles parlent le Français ou l’Anglais?
73
82
64
91
Effectuez l'opération 44+38-9 ou 35+29+9.
15 Pour se rendre dans son magasin chaque matin, M.Talla doit choisir une paire de chaussure parmi ses 3 paires et un ensemble parmi ses 2 ensembles.
1. Que doit-on utiliser pour trouver le nombre de possibilités que M. Talla peut s’habiller ?
Un diagramme de Venn
Un tableau à double entrée ou un arbre au choix ou le produit cartésien
Un schéma de calcul

Exploitez les questions précédentes.

2. De combien de possibilités M.Talla peut-il s’habiller ?
3
2
5
6
Effectuez l'opération 2×3
Moyenne :

Note de cours

I. LES ENSEMBLES FINIS

Définitions

• > Un ensemble est dit fini si on peut énumérer tous ses éléments.
• > Un ensemble vide est un ensemble qui ne comporte aucun élément. Cet ensemble est noté { } ou Ø.

Exemple

• • L’ensemble des nombres entiers naturel est un ensemble infini ;
• • L’ensemble des élèves d’une salle de classe est un ensemble fini ;

1.1 Partie d’un ensemble

Soit E un ensemble fini. On appelle partie de E tout sous-ensemble de E. Soit A une partie de E. On appelle complémentaire de A dans E noté E\A ou C_E^A l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A. Le complémentaire de A dans E est aussi noté \(\overline{A}\) et se lit « A barre ».

Exemple

• • On donne E={0 , 4, 5 , 8, 10 , 12, 15 , 19, 22} et A={ 0, 5, 10, 15}
• • L’ensemble A est une partie de E car tous les éléments de A sont dans E.
• • L’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A est : \(\overline{A}\)={4, 8, 12, 19 , 22}

1.2 Cardinal d’un ensemble

Soit E un ensemble fini. On appelle cardinal de l’ensemble E le nombre d’éléments de E. Le cardinal d’un ensemble est noté Card(E) ou |E|.

Exemple

On donne E = {a, b, c, d, 10, 4, 5, 7} ; A={a, d, 4, 5} ; B={b, c, 10, 7, 4} et C={b, c, d, 7, 10, a , 5}
Card(E)=8 ; Card(A)=4 ; Card(B)=5 ; Card(C)=7

1.3 Intersection de deux ensembles

Soient A et B deux ensembles non vides. L’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et dans B se note A∩B.
A∩B se lit « A inter B » ou « A intersection de B ».
Remarque
Si A∩B est vide (A∩B=Ø ) alors les ensembles A et B sont disjoints ou incompatibles.

Exemple

On donne E = {a, b, c, d, 10, 4, 5, 7} ; A={a, d, 4, 5, b} ; B={b, c, 10, 7, 4} et C={b, c, d, 7, 10, 5}

• • A∩B={4, b } d’ où Card(A∩B)=2
• • A∩C={d , b, 5} et Card(A∩C)=3

1.4 Réunion de deux ensembles

Soient A et B deux ensembles finis. L’ensemble des éléments qui sont soit dans A soit dans B se note A∪B.
A∪B se lit « A union B ».
Pour former l’ensemble A∪B , nous pouvons :

• ⇒ Recopier les éléments de l’ensemble B dans l’ensemble A ;
• ⇒ Barrer dans l’ensemble A les éléments qui se répètent ;
• ⇒ Les éléments non barrés constituent l’ensemble A∪B.

Exemple

On donne A={1, a, 2, 3, b, c, d, 5} et B = {4, a, c, 2, e, 5, f}
Déterminons l’ensemble A∪B.

• • Étape 1 : On recopie les éléments de l’ensemble B dans l’ensemble A et on obtient A= {1,a,2,3,b,c,d,5, 4, a, c, 2, e, 5, f }
• • Étape 2 : Barrer dans l’ensemble A les éléments qui se répètent A= {1, a , 2, 3, b, c, d, 5, 4, a, c, 2, e, 5, f }
• • Étape 3 : A∪B = {1, 3, b, d, 4, a, c, 2, e, 5, f }

Propriétés

Soit E un ensemble fini. Si A et B sont deux sous-ensembles de E alors

• • Card(E)=Card(A)+Card( \(\overline{A}\) )
• • Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∩B)
• • Card(A∩B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∪B)

Exemple

On donne E={a,b,c,d,10,4,5,7} ; A={a,d,4,5} ; B={b,c,10,7,4} et C={b,c,d,7,10}

• • A, B et C sont des sous-ensembles de E.
• • A∪B={a,b,c,d,4,5,7,10} et Card(A∪B)=8
• • A∩B={4} et Card(A∩B)=1
• • Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∩B)=4+5-1=8
• • Card(\(\overline{A}\) )=Card(E)-Card(A)=8-4=4 et \(\overline{A}\) ={b,c,10,7}

1.5 Partition d’un ensemble

Activité préparatoire
A la fin des inscriptions au Lycée du Cameroun, le proviseur constate que dans la classe de première D, on retrouve des élèves qui ont 16, 17, 18, 19 et 20 ans.
On désigne par

• ⇒ E l’ensemble des élèves de cette salle de classe.
• ⇒ A, B, C, D et F l’ensemble des élèves qui ont 16, 17, 18, 19 et 20 ans respectivement.

Nous pouvons constater que

• ⇒ Les ensembles A, B, C, D et F sont non vides (Chacun de ces ensembles contient au moins un élèves).
• ⇒ Ils sont deux à deux disjoints ou incompatibles (L’intersection de deux ensembles quelconques est vide).
• ⇒ La réunion des ensembles A, B, C, D et F est égale à E (E=A∪B∪C∪D∪F).

On dit que les ensembles A, B, C, D et F forment une partition de E.

Définitions

Soit E un ensemble fini non vide. Des ensembles forment une partition de E lorsque

• > Aucun de ces ensembles n’est vide.
• > Ces ensembles sont deux à deux disjoints ou incompatibles.
• > La réunion de ces ensembles est égale à E.

Propriété

Soit E un ensemble fini. Soit E un ensemble fini. Si E₁, E₂, E₃, . . . , E_p sont p sous-ensembles de E formant une partition de E alors
Card(E)=Card(E₁ )+Card(E₂ )+Card(E₃ )+...+ Card(E_p )

Exemple

• • Si A est une partie non vide de E alors \(\overline{A}\) et A forment une partition de E.
• • Soient E={a, b, c, 1, 2, 5, 4} ; A={a, 5, 4} ; B={c, 1} et C={b, 2}. Les ensembles A, B et C forment une partition de E.
• • Card(E) = Card(A)+Card(B)+Card(C) = 3+2+2=7

Activité d’intégration 1 : Choisir la bonne proposition

1Un ensemble vide est un ensemble qui

a exactement un élément
n’admet aucun élément
valadmet au moins un élémenteur3
admet au plus un élément

Relisez les définitions de la partie I.

2Le cardinal d’un ensemble est

le premier élément d’un ensemble
le plus grand élément d’un ensemble
le nombre d’élément d’un ensemble
est toujours égal à 8

Relisez la partie 1.2

3Si A est une partie non vide d’un ensemble E alors

Tous les éléments de A sont dans E
Tous les éléments de E sont dans A
A ne contient aucun élément
Le cardinal de A vaut 10

Relisez la partie 1.1

4 Soient E={1,2,3,4,5,6,7} et A={3,5,6} deux ensembles. Le complémentaire de A dans E est l’ensemble

{1, 2, 5}
{1, 2, 5, 7}
{1, 2, 4, 6}
{1, 2, 4, 7}

Relisez la partie 1.1

5 Soit l’ensemble E={1,2,3,4,5,6,7}. Une partie non vide de E est l’ensemble

A={}
B={2, 3,5}
C={1, 6, 7, 8}
D={7, 8}

Relisez la partie 1.1

6 Soit l’ensemble E={a, b, c, d, e, f}. Une partie de E ayant 3 éléments est l’ensemble

A={}
B={a, g, c}
C={a, c, e}
D={a, f}

Relisez la partie 1.1

7 Soient A={1, 2, 3, 8, 9} et B= {2, 4, 5, 3, 8, 7} deux ensembles. A∩B est l’ensemble

{2,3,8}
{2, 3}
{2,3,8, 5 }
{4,3,8}

Consultez à nouveau la partie 1.3

8 Soient A et B deux ensembles. Si Card(A ∪B)=Card(A)+Card(B) alors

A est forcément vide
B est forcément vide
A et B ont le même cardinal
A et B sont disjoints

Consultez les parties 1.3 et 1.4

9Soient A et B deux ensembles. Si Card(A ∪B)= Card(B) alors

A est forcément vide
B est forcément vide
A et B ont le même cardinal
A et B sont non disjoints

Consultez la partie 1.4

10 Soient E={1,2,3,4,7,8,9,10} ; A={2,5,7,8} B={7,2,8,1} ; C={10} ; D={4,9,3} des ensembles. Parmi les ensembles A, B, C et D, quels sont ceux qui forment une partition de E ?

A, B et D
A, B et C
B, C et D
B et D

Consultez la partie 1.5

Moyenne :

II. UTILISATION DES DIAGRAMMES POUR DÉNOMBRER

2.1 Utilisation du diagramme de Venn pour dénombrer

Activité préparatoire
Dans un établissement scolaire de 1500 élèves, trois activités sportives sont proposées : le football, le handball et la gymnastique.

• ♥ 580 élèves pratiquent le football.
• ♥ 490 élèves pratiquent le handball.
• ♥ 450 élèves pratiquent la gymnastique.
• ♥ 250 élèves pratiquent à la fois le football et le handball.
• ♥ 210 élèves pratiquent à la fois le football et la gymnastique.
• ♥ 180 élèves pratiquent à la fois la gymnastique et le handball.
• ♥ 150 élèves pratiquent à la fois les 3 sports.

Questions :

• 1 Déterminer le nombre d’élèves qui pratiquement exactement deux sports.
• 2 Déterminer le nombre d'élèves qui pratiquent un seul sport.
• 3 Déterminer le nombre d'élèves qui ne pratiquent aucun des trois sports.

Solution :
Désignons par E l’ensemble des élèves de cet établissement ; H l’ensemble des élèves qui pratiquent le Handball ; F l’ensemble des élèves qui pratiquent le Football et G l’ensemble des élèves qui pratiquent la Gymnastique.

Pour répondre aux questions posées, il faut tout d’abord compléter chaque zone colorée du diagramme.

• Ο Parmi ces élèves, certains pratiquent les trois sports : c’est l’ensemble F ∩G ∩H, identifié par la couleur   ; D’après l’énoncé, nous avons 150.
• Ο Certains pratiquent uniquement le football et le handball : c’est l’ensemble F∩H, identifié par la couleur   . D’après l’énoncé, 250 pratiquent le football et le handball. Donc 250-150=100 pratiquent uniquement le football et le handball.
• Ο Certains pratiquent uniquement le football et la gymnastique : c’est l’ensemble F∩G, identifié par la couleur   . D’après l’énoncé, 210 pratiquent le football et la gymnastique. Donc 210-150=60 pratiquent uniquement le football et la gymnastique.
• Ο Certains pratiquent uniquement le handball et la gymnastique : c’est l’ensemble H∩G, identifié par la couleur   . D’après l’énoncé, 180 pratiquent le handball et la gymnastique. Donc 180-150=40 pratiquent uniquement le handball et la gymnastique.
• Ο Certains pratiquent uniquement le handball: c’est l’ensemble identifié par la couleur   . D’après l’énoncé, 490 pratiquent le handball. Donc 490-150-100-40=200 pratiquent uniquement le handball.
• Ο Certains pratiquent uniquement le football: c’est l’ensemble identifié par la couleur   . D’après l’énoncé, 580 pratiquent le football. Donc 580-150-60-100=270 pratiquent uniquement le football.
• Ο Certains pratiquent uniquement la gymnastique: c’est l’ensemble identifié par la couleur   . D’après l’énoncé, 450 pratiquent la gymnastique. Donc 450-150-60-40=200 pratiquent uniquement la gymnastique.
• ΟCertains ne pratiquent aucun des trois sports. C’est la partie vide restante dans l’ensemble E.
  Donc 1500-(150+40+60+100+200+200+270) = 480.

Répondons actuellement aux questions posées

• 1 Déterminons le nombre d’élèves qui pratiquement exactement deux sports.
Pratiquer exactement deux sports veut dire
• soit on pratique uniquement le football et le handball, nous avons 100 élèves
• soit on pratique uniquement le football et la gymnastique, nous avons 60 élèves
• soit on pratique uniquement le handball et la gymnastique, nous avons 40 élèves
Donc 100+60+40=200 pratiquement exactement deux sports.
• 2 Déterminons le nombre d'élèves qui pratiquent un seul sport.
Pratiquer un seul sport veut dire
• soit on pratique uniquement le football, nous avons 270 élèves
• soit on pratique uniquement la gymnastique, nous avons 200 élèves
• soit on pratique uniquement le handball nous avons 200 élèves
Donc 270+200+200=670 pratiquement un seul sport.
• 3 Déterminons le nombre d'élèves qui ne pratiquent aucun des trois sports.
1500-(150+40+60+100+200+200+270) = 480 ne pratiquent aucun des trois sports.

2.2 Utilisation d’un arbre de choix pour dénombrer

Activité préparatoire
Pour se rendre à leur soirée de gala, votre camarade André doit porter une veste parmi ses trois vestes et une cravate parmi ses deux cravates. De combien de façon André peut-il s’habiller? Solution :
Soient V l’ensemble des vestes tel que V={v1, v2, v3} et C l’ensemble des cravates tel que C={c1, c2}.

De cet arbre, on constate que André peut s’habiller de 6 façons différentes.

2.3 Utilisation du produit cartésien pour dénombrer

Définitions

Soient A et B deux ensembles finis non vides. On appelle produit cartésien de A par B l’ensemble noté A×B formé des couples (a , b) où a∈ A et b∈B.
A×B se lit « A croix B »

Exemple

Considérons les ensembles A et B tels que : A={1,2,3} et B={α,β,γ}. Déterminons l’ensemble A×B. Les éléments de A×B sont mentionnés dans le tableau ci-dessous appelé tableau a double entrée
image_produit_cartésien
A×B={ (1, α ) , (2, α ) , (3, α ) , (1, β ) , (2, β ) , (3, β ) , (1, γ ) , (2, γ ) , (3, γ ) }

Remarques
Soient p ensembles finis E₁, E₂, E₃, . . . , E_p

• ⇒ Le produit cartésien de E₁, E₂, E₃, . . . , E_p est noté E₁ × E₂ ×E₃× . . . ×E_p
• ⇒ En particulier, si E₁= E₂= E₃= . . . = E_p =E alors le produit cartésien est noté E^p.
• ⇒ Les éléments du produit cartésien de
  • deux ensembles sont des couples;
  • trois ensembles sont les triplets
  • E₁ × E₂ ×E₃× . . . ×E_p et de E^p sont appelés p-uplets ou p-listes.

Exemple

Pour se rendre à un anniversaire, Niki doit porter une veste, une chemise, un pantalon et une paire de chaussure. Il possède 3 vestes, 6 chemises, 4 pantalons et 2 paires de chaussures. De combien de manière peut-il s’habiller ?
Solution
Désignons par V : l’ensemble des vestes ; C : l’ensemble des chemises ; P : l’ensemble des pantalons ; S : l’ensemble des paires de chaussures Pour s’habiller, Niki doit porter une veste, une chemise, un pantalon et une paire de chaussure.
Une façon de s’habiller est donc un élément de l’ensemble V×C×P×S.
Le nombre de possibilités demandé est : Card(V×C×P×S).
On a :
Card (V×C×P×S)= Card(V)×Card(C)×Card(P)×Card(S)=3×6×4×2=144
Niki a 144 manières de s’habiller.

Activité d’intégration 2 :
Soient les ensembles E={a,b,c,d,e,1,2,3,4,5} ; A={a,5,4,3,c} ; B = {c,d,e,a,3,4} et C={b,c,d,2,5,4,a}

• 1Déterminer les éléments de chacun des ensembles D, G, L, I, H, J, F, K.
• 2 Les ensembles D, G, L, I, H, J, F, K forment-t-ils une partition de E?

Activités d’intégration 3 : Le jour de son examen de Probatoire, un candidat doit choisir un stylo bleu, un crayon ordinaire et une règle graduée. On met à sa disposition six stylos bleus, trois crayons ordinaires et deux règles graduées.

• 1 Combien de choix distincts peut-il ainsi effectuer ?
• 2 Utiliser un arbre de choix pour énumérer toutes les possibilités.

Jeu bilingue:

Ensemble = Set ; Cardinal = Cardinal; Union = Union; Intersection = Intersection ; Diagramme = Diagram; Tableau = Array; Cartésien = Cartesian;

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