Leçon 1 : Etude algébrique d'un nombre complexe
Compétences
- • Écrire un nombre complexe sous forme algébrique
- • Déterminer le module et le conjugué d’un nombre complexe
- • Représenter graphiquement un nombre complexe
- • Effectuer la somme, le produit et le quotient de deux nombres complexes.
Situation de vie
Fabien vient d’obtenir son examen de Probatoire D. Pour préparer la classe de Terminales, il prend son temps pour feuilleter le vieux cahier de Maths de sa grande sœur. Sur l’une des pages de ce cahier, il retrouve l’équation ##(E) : x^2-8x+17=0## et un ensemble de questions.CONSIGNE :Réponds aux questions posées.
TRAVAIL A FAIRE
Note de cours
1. Notion de nombre complexe
Définitions
On appelle nombre complexe tout nombre pouvant s’écrire sous la forme ##a + bi## où ##a## et ##b## sont des nombres réels et ##i ## l’imaginaire tel que ##i^2 = −1##. L’ensemble des nombres complexes est noté ##\mathbb{C}##. Dans cet ensemble, toute équation du second degré a toujours de solution. En générale, les nombres complexes sont désignés par les lettres z, u, v,…
2. Notation et vocabulaire
Soit ##z## un nombre complexe tel que ##z = a + bi## avec ##(a, b) \in \mathbb{R}^2##.- • L’écriture ## a+bi## est appelé forme algébrique du nombre complexe ## z## . Dans cette écriture, ## a## est appelé partie réelle de z et est noté Re(z), ## b## est appelé partie imaginaire de z et est noté Img(z).
- • Si ## b = 0## alors ## z = a## ; tout nombre réel est aussi un nombre complexe. Par suite ##\mathbb{R}\subset\mathbb{C}##.
- • Si ## a = 0## alors ## z = bi## ; on dit que ## z## est un nombre complexe imaginaire pur.
- 1. 1. Utiliser la forme canonique pour trouver les nombres complexes solutions de chacune des équations ci-dessous. (a) ##u^2+2u+4 =0 ## (b) ##v^2+4v+12=0 ##
- 2. Complète les pointillés du tableau ci-dessous par les valeurs convenables.
| z | 1+2i | .... ..... | 2i | 8 | .......+3i | 2+........ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Re(z) | ............ | ##-3## | ............ | ............ | ##-6## | ............ |
| ##Img(z)## | ............ | 5 | ............ | ............ | ............ | ##-4## |
3. Calcul dans C
L’ensemble ##\mathbb{C}## est muni de l’addition et de la multiplication. Les règles d’additions et de multiplications dans ##\mathbb{C}## sont les mêmes que celle de ##\mathbb{R}## avec la convention ##i^2 = −1##. Soient 2 nombres complexes z et u tels que ##z = a +bi## et ##u = c+ di##.- • La somme de z et u est le nombre complexe ##z + u## tel que : ##z + u = a + cc +i(b +d)##.
- • Le produit de ##z## et ##u## est le nombre complexe ##z\times u## tel que : ##z\times u = (a +bi)(c +di)= ac −bd +i(ad + cb)##
En général ##\forall n \in \mathbb{N}##, on a ##i^{4n} = 1; i^{4n+1} =i; i^{4n+2} = −1## et ##i^{4n+3} = −i##
Exemple
Écris chacun des nombres complexes suivants sous la forme algébrique ##z=(2+3i)(1-2i)## et ## u=z+5-4i##.
On a :
- • ##z=(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i+6=8-i##
- • ##u=z+5-4i=8-i+5-4i=13-5i##.
Propriétés
Soient ##z## et ##u## deux nombres complexes, on a :
- • ##z = 0## équivaut à ## \begin{cases}
Re(z)=0\\
Img(z)=0
\end{cases}## (Nombre complexe nul)
- • ## \begin{cases}
Re(z)=Re(u)\\
Img(z)=Img(u)
\end{cases}## (Première définition de l’égalité de deux complexes)
- • ##(z + u)^2 = z^2 +2zu + u^2##
- • ##(z − u)^2 = z^2 −2zu + u^2##
- • ##(z − u)(z + u) = z2 − u^2##
- • Pour tout n≥2, on a : ##(z+u)^n=\sum_{k=0}^{n}{C^n_k z^k u^{n-k}} ##
- • ##z = a +bi## implique que ##−z = −a –bi ## (opposé d’un nombre complexe)
- 1. Déterminer les nombres réels a et b pour que z soit un complexe nul.
- 2. Déterminer les nombres réels a et b pour que z et u soient égaux.
4. Représentation géométrique d’un nombre complexe
- • Le plan ##(\mathcal{P} )## est muni d’un repère orthonormé direct ##(O,\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})##. L’application de ##\mathbb{C}## dans ##\mathcal{P}## qui à tout nombre complexe ##z = a +bi## associe le point ##M (a; b)## est une bijection. Le point M est appelé point image de z et z est appelé l’affixe du point M.
Notation : ##M(z)## se lit « le point M a pour affixe z ». - • De même, l’application de ##\mathbb{C} \to \mathcal{V}##(ensemble des vecteurs du plan) qui au complexe ##z = a + bi## associe le vecteur ##\overrightarrow {u} (a;b) ##est une bijection. Le vecteur u ⃗ est appelé vecteur image de z et z est l’affixe du vecteur ##\overrightarrow {u}##.
Notation : ##\overrightarrow{u}(z) ## se lit « le vecteur ##\overrightarrow {u} ## a pour affixe z. » ou « vecteur image de z » - • La droite de repère ##(O,\overrightarrow{e_1} )## ou axe des abscisses est appelé axe réel ; la droite de repère ##(O, \overrightarrow{e_2})## ou axe des ordonnées est appelé axe imaginaire et le plan (##(\mathcal{P} )##) est appelé plan complexe ou plan de Cauchy. Les vecteurs ##\overrightarrow{e_1}## et ##\overrightarrow{e_1}## ont pour affixe respective ##1## et ##i##.
- • Dans la pratique, l’affixe d’un point M est noté ##z_M## et celui du vecteur est noté ##z_{\overrightarrow{u}}##
- • Si A et B sont 2 points du plan ; alors l’affixe du vecteur ##\overrightarrow{AB}## est noté ##z_{\overrightarrow{AB}}## et ##z_{\overrightarrow{AB}} =z_B-z_A##. En effet ## \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}== \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}##
5. Conjugué d’un nombre complexe
Définitions
Soit ##z## un nombre complexe défini par ##z = a + bi## avec ##a,b\in \mathbb{R}## . On appelle conjugué de ##z## le nombre complexe noté ##\overline{z} ## (lire z barre) tel que ##\overline{z}= a −bi ##.
Propriétés
Soient ##z## et ##u## deux nombres complexes et n un entier relatif non nul( ##n\in\mathbb{Z}^*## ), on a :
- • ##\overline{\overline{z}} = z ##
- • ##\overline{z+u}=\overline{z}+\overline{u}##
- • ##\overline{z\times u} = \overline{z}\times \overline{u} ##
- • ##\overline{\left( z^n \right)}=\left( \overline{z} \right)^n ##
- • Si ##z\neq 0## alors ##\overline{ \left( \dfrac 1z\right) } = \dfrac{1}{\overline{z}}## et ##\overline{ \left( \dfrac {u}z\right) } = \dfrac{\overline{u}}{\overline{z}}##
- • ##z+\overline{z} = 2Re(z) et z-\overline{z} = 2Img(z)##
- • Si ##z## est réel alors ##z=\overline{z}##
- • Si ##z## est imaginaire pur alors ##\overline{z} = -z ##
- • Si ##z\neq=0## alors ##\dfrac{u}{z} = \dfrac{u\times \overline{z}}{z\times \overline{z}}##
- • Si ##z = a +bi## alors ##z \times \overline{z} = (a +bi)(a −bi) = a^2 +b^2 ## donc ##z.\overline{z} \ge 0##
- • Le conjugué d’un nombre complexe permet d’écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique.
Exemple
- • ##\overline{3-5i} = 3+5i##
- • ##\overline{\overline{2+3i}}=2+3i##
- • ##\dfrac{2+3i}{1+i} = \dfrac{(2+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{2-2i+3i+3}{1+1}=\dfrac{5+i}{2}##
Soit M le point image de ##z## et M’ le pont image de ##\overline{z}##. Nous avons la figure ci-dessous.
Les points ##M(z)## et ##M’(\overline{z})## sont symétrique par rapport à l’axe réel.
6. Module d’un nombre complexe
Définitions
Soit ## z## le nombre complexe défini par ## z = a+bi## avec ## a, b \in \mathbb{R}## . On appelle module de ## z## le nombre positif ou nul noté ## |z| ## (on lira module de z) tel que ## |z| = \sqrt{a^2+b^2 }##
Propriétés
Soient ##z## et ##u## deux nombres complexes et n un entier relatif non nul( ##n\in\mathbb{Z}^*## ), on a :
- • ## |z| = |-z|=|\overline{z}|=|-\overline{z}| ##
- • ##|\overline{z}\times \overline{u}|=|\overline{z}|\times |u| ##
- • ## |z^n| = |z|^n ##
- • ##\left| \dfrac1{z} \right| = \dfrac {1}{|z|} avec ##z\neq 0. ##
- • Si ##|z| = 0## alors ##z=0##.
- • Si ##z\neq 0## alors ##\left| \dfrac {u}{z} \right| = \dfrac {|u|} {|z|} ##
- • ##|z+u|\le|z|+|u|##
Exemple
Posons ##z=2+i## et ##u=3-4i##
- • ## |z|= \sqrt{2^2+1^2 } =\sqrt{4+1}=\sqrt{5 } ##
- • ## |u|=\sqrt{3^2+(-4)^2 }=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5##
- • ## |u.z|=|u|.|z|=5\sqrt{5 } ##
- • ## |u^2 |=|u|^2=5^2=25 ##
- 1. L’affixe du point I milieu du segment [AB] est donné par : ##z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}##
- 2. L’affixe du point G, centre de gravité du triangle ABC est donné par : ##z_G=\dfrac{(z_A+z_B+z_G)}{3}##
- 3. Si ##G=bar{(A ; a) , (B ; b)}## alors ##z_G=\dfrac{az_A+bz_B}{a+b}##
- 4. Si ## G=bar{(A ; a) , (B ; b), (C ; c)}## alors ##z_G=\dfrac{az_A+bz_B+z_C}{a+b+c}##
image a13
- 1. Déterminer les nombres complexes a, b, c et d.
- 2. Calculer ##a+c ##; puis conclure.
- 3. Calculer l’affixe du vecteur ##\overrightarrow{u}## ; puis en déduire la distance AD.
- 4. Déterminer l’affixe du point I milieu du segment [BD].
- 5. G est le point tel que ##G=bar{(A ;2) , (B ;1) , (C ; -1)}##. Déterminer l’affixe du point G.
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Salut à tous.